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第82章（第2页）

林云看着这道题，再次拿起笔，在纸上开始分析。

首先，求函数z在区域D内的驻点。

分别对x和y求偏导数：

z_x=3x^2-3y，z_y=3y^2-3x。

令z_x=0，z_y=0，得到方程组：

begin{cases}3x^2-3y=03y^2-3x=0end{cases}

由3x^2-3y=0可得y=x^2，将其代入3y^2-3x=0中，得到：

3（x^2）^2-3x=0，即3x^4-3x=0，提取公因式3x得3x（x^3-1）=0。

解得x=0或x=1。

当x=0时，y=0；当x=1时，y=1。所以函数z在区域D内有两个驻点（0，0）和（1，1）。

接着，求函数z在区域D边界上的最值。

边界x=0（0leqyleq2）上，z=f（0，y）=y^3，z^prime=3y^2geq0，所以z在[0，2]上单调递增，z（0）=0，z（2）=8。

边界y=0（0leqxleq2）上，z=f（x，0）=x^3，z^prime=3x^2geq0，所以z在[0，2]上单调递增，z（0）=0，z（2）=8。

边界x+y=2（xgeq0，ygeq0）上，y=2-x，将其代入z=f（x，y）中得：

z=f（x，2-x）=x^3+（2-x）^3-3x（2-x）

展开并化简：

begin{align*}

z&=x^3+（8-12x+6x^2-x^3）-（6x-3x^2）

&=x^3+8-12x+6x^2-x^3-6x+3x^2

&=9x^2-18x+8

end{align*}

对z=9x^2-18x+8求导得z^prime=18x-18，令z^prime=0，解得x=1，此时y=1，z（1）=9-18+8=-1。

最后，比较驻点和边界上的函数值：

f（0，0）=0，f（1，1）=1+1-3=-1，f（2，0）=8，f（0，2）=8。

所以函数z在闭区域D上的最大值为8，最小值为-1。

林云完成了解题过程，再次拍照上传到群里。粉丝们看到答案后，又是一阵惊叹和夸赞。

“云宝，你简直就是数学大神啊，这解题过程太详细了！”

“跟着云宝学数学，感觉数学都变得简单了。”

“云宝，你是不是偷偷去数学系进修了，这水平绝了！”

林云看着群里的消息，笑着回复道：“大家别夸啦，我就是把自己的思路分享给大家，一起进步嘛。数学其实很有趣，只要掌握了方法，就能发现其中的乐趣。”

在接下来的时间里，林云继续和粉丝们在群里交流着数学知识和学习经验。他的耐心解答和专业分析，让粉丝们对他的崇拜又加深了几分。而林云也在这个过程中，收获了满满的快乐和成就感。他没想到，自己曾经热爱的数学，在这个粉丝群里，能成为连接他和粉丝们的桥梁，让彼此在知识的海洋里共同探索，共同成长。

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