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【定理73:设f是一个n维siel模形式,x_f(n)是相应的广义模曲线。那么存在一个自然的galois表示:p_f:gal(q?q)→gl_n(z_?),使得对于任意素数p,frobeni元frob_p在p_f下的特征多项式等于x_f(n)在p处的zeta函数ζ(x_f(n),t)……】
萧易的办公室中,他正在草稿纸上面写下关于阿廷猜想证明的最后几步。
“嗯,这个定理就成功建立了广义模曲线的几何性质与galois表示的算术性质之间的联系。”
“有了这个结果,我总算是可以将阿廷猜想转化为关于galois表示的一个问题了。”
“那么,这个galois表示下的阿廷猜想就是……”
【定理74:设e是一个椭圆曲线,l(s,e)是它的hasse-weill-函数。那么以下两个条件等价:(1)l(s,e)是整个复平面上的全纯函数,并满足一个函数方程;(2)存在一个模形式f,使得e的galois表示p_e与p_f同构。】
萧易的嘴角微微一翘,就仿佛一切尽在他的掌握之中。
到了这一步,他就成功地将阿廷猜想转化为了另外一种形式下的问题。
绝大多数的猜想证明,也基本上都不外如是。
数学家们所需要证明的最终形式,往往都和原来的问题陈述大相径庭,但是,通过对各种数学关系之间的抽丝剥茧,就能够在这个最终形式和猜想本身的描述之间,划上代表了等价关系的符号。
至于问题原来本身的描述,更多也都是为了方便人们的理解。
就比如其他的各种问题,像是冰雹猜想这样,它的描述看起来十分的简单,但是最终证明出来的形式,就并不是本身的那样,而是一个相当复杂的式子。
包括像是安德鲁·怀尔斯所证明的费马大定理,最终的形式也是截然不同的。
因此,随着萧易现在将阿廷猜想进行了转变之后,他只需要证明每个椭圆曲线的galois表示都来自一个模形式就行了。
“那么,定理75,对于任意的椭圆曲线e,存在一个广义模曲线x和一个闭嵌入i:e→x,使得i诱导了galois表示之间的同构:p_e?p_x°i_。”
这个定理75,就是他最后一个需要完成证明的问题了。
同样的,在这里也并没有对他造成任何困难,仅仅只是略微思索了一下,然后,他就彻底完成了自己的结果。
“那么,由定理73,我们知道p_x来自一个siel模形式f,即p_x?p_f。”
“结合这两个结果,我们就有:p_e?p_x°i_?p_f°i_。”
“这表明p_e也来自一个模形式,即f的“拉回“。”
“由定理74,这意味着l(s,e)是整的并满足函数方程。”
“综上所述,阿廷猜想是成立的。”
【证毕。】
在草稿纸上写下了这最后的两个字,萧易也微微一笑。
历经了如今之久的时间,终于,这个阿廷猜想被他成功破解了。
如此一来,他也算是距离黎曼猜想,真正地又近了一步。
不过,在此之前,他还需要根据他现在的结果,导出阿廷猜想的结果中,那个让每个有限维复表示p和它们的l-函数相等的自守表示π,到底是什么样子的。
只有得到了这个式子,他才能够借此开始尝试证明黎曼猜想。
很快,他就成功地将这个全新的自守表示π给推导了出来。
“于是,我们就得到了一个函数方程。”
【l(p_x,s)=e(p_x,s)l(p_xv,k-s)】
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